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Geometría y física

¿Es la tridimensionalidad del espacio una situación inamovible, inmutable, que persisitirá para siempre en nuestras teorías acerca de la naturaleza? ¿O es posible que la naturaleza acepte y se beneficie considerando teorias físicas que supongan que el espacio tiene más de tres dimensiones? ¿Dónde estarían esas dimensiones extra o, mejor, cómo podríamos percibirlas o detectarlas?

Estas interrogantes no surgen por un capricho arbitrario. Existe desde hace algún tiempo en física, la idea de que las fuerzas más fundamentales de la naturaleza pueden resumirse en una única teoría. Y, más aún, se piensa hoy que en algún instante muy cercano al nacimiento del universo, cuando éste era muy pequeño, porque venía saliendo del Big Bang, no habría habido la distinción que hacemos ahora entre fuerzas gravitacionales, eléctricas o nucleares. Siguiendo ese proyecto, se descubrió que al considerar las teorías físicas en un espacio de más dimensiones, se produce el milagro.
 

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¿Es la tridimensionalidad del espacio una situación inamovible, inmutable, que persisitirá para siempre en nuestras teorías acerca de la naturaleza? ¿O es posible que la naturaleza acepte y se beneficie considerando teorias físicas que supongan que el espacio tiene más de tres dimensiones? ¿Dónde estarían esas dimensiones extra o, mejor, cómo podríamos percibirlas o detectarlas?

Estas interrogantes no surgen por un capricho arbitrario. Existe desde hace algún tiempo en física, la idea de que las fuerzas más fundamentales de la naturaleza pueden resumirse en una única teoría. Y, más aún, se piensa hoy que en algún instante muy cercano al nacimiento del universo, cuando éste era muy pequeño, porque venía saliendo del Big Bang, no habría habido la distinción que hacemos ahora entre fuerzas gravitacionales, eléctricas o nucleares. Siguiendo ese proyecto, se descubrió que al considerar las teorías físicas en un espacio de más dimensiones, se produce el milagro.

La búsqueda de una teoría unificada fundamental entusiasmó también a Einstein, inspirado en su teoría de la gravitación. En la visión de Einstein, la fuerza gravitacional es solo un efecto geométrico, cuando el espacio es curvado por la materia. ¿Por qué no otras fuerzas, se dijo Einstein, son también un asunto de pura geometría? Ese programa, sin embargo, no llevó a Einstein a ninguna parte más alla del éxito de su teoría gravitacional.

El sueño persistió. Hoy, los físicos han desarrollado modelos que prometen esa unidad fundamental de las fuerzas. Esos modelos requieren, para su consistencia lógica de la existencia de más dimensiones en el espacio. Una teoría de esta clase es la conocida y relativamente reciente teoría de cuerdas, que requiere de nueve dimensiones espaciales.

Contar las dimensiones

Parece de sentido común que hay tres dimensiones. Pero, si no lo damos como un hecho, ¿es posible deducir esta propiedad del espacio, como una conclusión, como un resultado de la observación y la teoría científicas? Y, si nuestra conclusión fuera, justamente, que el espacio tiene más de tres dimensiones, ¿hay alguna forma de comprobarlo, de medirlo?

Necesitamos un procedimiento de detección, una manera de contar las dimensiones. Cuando sepamos cómo hacerlo, sabremos cuánto da la cuenta, si es 3 o no.

La geometría puede dar la pista

Aparentemente, decimos que hay tres dimensiones, porque la geometría nos muestra esas tres dimensiones. Pero, ¿qué significa eso? ¿Por qué una línea es unidimensional, o un cuadrado es bidimensional, o una esfera es tridimensional? Y, ¿hay objetos de más dimensiones?

Estas preguntas no son triviales, no son "de Perogrullo", como se dice. De hecho, en la mente de un matemático hay espacio para cuerpos de más de tres dimensiones. Y, más aún, en la matemática es posible imaginar objetos que no tengan ni siquiera dimensión entera, que ésta sea un número fraccionario. Son los famosos fractales, objetos de dimensión fraccionaria.
 

La forma de los movimientos: grados de libertad y dimensiones

Pero, también los movimientos tienen una dimensionalidad. El desplazamiento de una hormiga sobre una mesa es de dos dimensiones. Ciertamente tiene que ver con las dimensiones de la superficie de la mesa: dos. Pero, si nos fijamos en todos los estados posibles de la hormiga que se mueve sobre la mesa, vemos que puede tener las patas levantadas, las antenas hacia delante, contorsionar su cuerpo. Es decir, en cada punto donde se encuentre puede tener otra variedad de posiciones. En este sentido su movimiento completo es de muchas más dimensiones que dos. Son los grados de libertad del movimiento.


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Desde el punto de vista de los grados de libertad del movimiento distinguimos clases distintas de grados de libertad. Algunos, son acotados, esto es, no tienen una libertad ilimitada, como por ejemplo, las posiciones de las patas o la cabeza de la hormiga, que giran en torno a un punto. Pero, otros, como la posición en la mesa, son ilimitados en principio, sólo mediados por el tamaño de la mesa en este caso. Se dice que hay grados de libertad compactos y no compactos. Los movimientos de las partes del cuerpo son grados de libertad compactos. La libertad de desplazamiento sobre la mesa refleja los grados no-compactos. Desde lejos, percibimos con mayor facilidad los grados de libertad no-compactos.

La posibilidad de que el espacio tenga más dimensiones que tres se relaciona con la posible existencia de grados de libertad compactos. Si la escala en que miramos es muy grande, es decir, miramos "desde lejos", esos grados de libertad no se verán. Así, percibimos sólo tres dimensiones porque las restantes serían compactas, con una escala muy pequeña, tal vez inaccesible a nuestra tecnología actual de "mirar". La teoría de cuerdas, candidata a describir lo más fundamnetal de la naturaleza, establece 10 dimensiones para el espacio-tiempo. Si el tiempo ocupa una dimensión, nueve de ellas serían dimensiones espaciales. La escala de compactificación es muy pequeña, 10-33 cm, y no tenemos posibilidad de verla con nuestros actuales instrumentos. Un día se inventó el microscopio electrónico, y pudimos ver las moléculas. ¿Podremos alguna vez fabricar el instrumento, o el experimento, donde puedan percibirse las dimensiones que no vemos?
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La visión geométrica de las dimensiones de las cosas -ver qué espacio ocupan- y la visión cinemática -ver su libertad de movimiento- tienen un lugar común en las teorías contemporáneas de la gravitación. En la teoría de Einstein para la gravitación, desarrollada en la década de 1910, el movimiento gravitacional de los cuerpos –como el movimiento relativo de los planetas y el Sol, de la Luna y la Tierra, o de una piedra cayendo hacia la Tierra-, más que el resultado de una fuerza entre los cuerpos, es el resultado de las propiedades geométricas del espacio donde estos cuerpos transitan. En la teoría einsteniana la gravedad es una manifestación de que la geometría del espacio se ha visto alterada por los cuerpos mismos. La geometría de Euclides, aquella donde la distancia más corta entre dos puntos es una recta, o donde la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, ya no tiene plena validez.

El puzzle de las dimensiones es una pregunta geométrica que la física puede intentar responder analizando las teorías acerca de la gravedad. Estas nuevas teorías, como la teoría de cuerdas, pretenden unir todas las fuerzas fundamentales de la naturaleza, las electromagnéticas, la gravitación y las fuerzas nucleares. En lo esencial, en lo fundamental, una sola teoría intenta predecir que, en la naturaleza, la materia se atraerá o repelerá eléctricamente, o se atraerá gravitacionalmente, o constituirá un núcleo atómico unido por las fuerzas nucleares. Estas teorías no suponen la dimensión del espacio-tiempo fijada de antemano. La dimensión del espacio-tiempo tiene un valor que está dado por la teoría.

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