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¿En cuántas direcciones independientes se pueden mover los objetos? ¿Cuántos datos necesitamos para determinar o fijar la posición de un determinado objeto? La respuesta a estas interrogantes introduce el concepto de grado de libertad, que tiene relación con las dimensiones del movimiento. Pero, también, nos daremos cuenta de que los grados de libertad no son todos de la misma clase: hay grados de libertad compactos y no-compactos. ¿Qué es eso y qué relación tiene con un imaginado mundo de más dimensiones que cuatro, donde todas las fuerzas de la naturaleza se unifican en una sola teoría?

El movimiento en la naturaleza es variado. Con eso queremos decir que a veces es muy simple de describir y que a veces es más complicado. Una manera de caracterizar esa complejidad es con el número de grados de libertad del movimiento:

El tren sólo puede desplazarse a lo largo de la línea férrea, el barco no puede abandonar la superficie del agua (¡no esperamos que se sumerja!) y el helicóptero puede desplazarse de un lado a otro, y subir y bajar. El número de grados de libertad es, respectivamente, g=1, g=2 y g=3. ¿A qué alude ese número? ¿Tiene que ver con el número de dimensiones del espacio? ¿Podría haber movimientos con g>3?
El número g equivale al número de datos que hay que dar para ubicar, o seguir, al objeto que se mueve. La posición del tren se determina dando un solo dato: la posición a lo largo de la línea desde una estación de referencia. Luego, g=1. El barco se describe con dos datos, entonces g=2.

Línea férrea, superficie del agua, volumen de aire, son dominios donde ocurren respectivamente estos movimientos y que tienen dimensión D=1, D=2 y D=3, respectivamente (ver la dimensión géométrica de las cosas). El número de grados de libertad del movimiento y la dimensión del dominio en que ocurren parecen coincidir.

Pero, entonces, ¿no podrá haber movimientos con g>3, ya que no podemos construir en la realidad objetos con D>3?

La respuesta es que sí hay movimientos de esa clase. Y que, no siempre coinciden g y D, porque no todos los grados de libertad son de una misma clase.
dimension3
El número total de grados de libertad de los movimientos posibles de una tijera es 7. De esos siete posibles movimientos, tres corresponden a las traslaciones, que no tienen límite; es decir, la tijera podría moverse desde aquí hasta la Nebulosa de Andrómeda, si se quisiera.

El resto, los cuatro grados de libertad, que corresponden a rotar, abrir o cerrar la tijera, se mantienen acotados, restringidos en una región del espacio no más grande que la tijera. Estos grados de libertad se llaman compactos. Es un nombre que viene de la matematica.

Los grados de libertad de traslación son llamados no-compactos, por obvias razones.

Este es un punto crucial, la distinción entre grados de libertad compactos y no-compactos.
dimension4dimension5 Aunque la relación entre g y D pareciera limitarse a los grados de libertad no-compactos, ¿qué pasa con los grados de libertad compactos? ¿No será posible pensar en alguna clase de "dimensiones compactas"?

La pregunta habitualmente no surge así, por lo menos, no en física. Los físicos están inventando desde hace más de 80 años teorías, pero que se basan en un espacio de más de tres dimensiones (espacio-tiempo de más de cuatro dimensiones). Eso motivó a darle a esas dimensiones extra un carácter similar al de los grados de libertad compactos, porque eso permite restringir la posible detección de esas dimensiones y hacer compatible esos modelos con el mundo tal como parecemos verlo.

Así que en la imaginación de la ciencia está dada la posibilidad de dimensiones compactas, a la manera de los grados de libertad compactos.

¿En cuántas direcciones independientes se pueden mover los objetos? ¿Cuántos datos necesitamos para determinar o fijar la posición de un determinado objeto? La respuesta a estas interrogantes introduce el concepto de grado de libertad, que tiene relación con las dimensiones del movimiento. Pero, también, nos daremos cuenta de que los grados de libertad no son todos de la misma clase: hay grados de libertad compactos y no-compactos. ¿Qué es eso y qué relación tiene con un imaginado mundo de más dimensiones que cuatro, donde todas las fuerzas de la naturaleza se unifican en una sola teoría?

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