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La relatividad y la mecánica cuántica son dos pilares de la ciencia moderna y fueron desarrolladas en las primeras décadas del siglo pasado. Los primeros intentos de una descripción en que las ideas relativistas y cuánticas se combinaran fueron para describir la interacción electromagnética a un nivel microscópico. Electrones y fotones participan en una teoría tremendamente exitosa: la electrodinámica cuántica. Una consecuencia sorprendente de esa teoría fue la predicción de las antipartículas, objetos fundamentales de la naturaleza, olvidados y escondidos desde el Big Bang.
 

La ecuación cuántica y relativista de Dirac

El personaje crucial en esta historia es Paul Dirac. Dirac nació en Bristol, Inglaterra, en 1902. Estudió ingeniería eléctrica en su misma ciudad natal, pero pronto las matemáticas atrajeron su atención. En 1925, ya en Cambridge, su interés se fue hacia la teoría cuántica, que se encontraba en pleno apogeo. Surgida de los seminales trabajos sobre la luz de Planck y Einstein a principios del siglo XX, la mecánica cuántica tenía una primera versión basada en la matemática de matrices y que había sido recientemente desarrollada por Werner Heisenberg. Las habilidades matemáticas de Dirac lo llevan a plantear una nueva formulación de la mecánica cuántica, que publica el mismo año de la mecánica matricial de Heisenberg.

Fue en 1928 que Dirac, enfrentado al problema de describir la dinámica de los electrones y el electromagnetismo encontro una manera de escribir una ecuación cuántico-relativista para el electrón, hoy conocida como la ecuación de Dirac.

La ecuación de Dirac es la base de la electrodinámica cuántica, que es la teoría cuántico-relativista para el electromagnetismo, descrito como electrones y fotones en interacción.

La electrodinámica cuántica fue a la larga tremendamente exitosa, por la capacidad predictiva que demostró en cuanto a fenómenos que fueron observados y medidos experimentalmente con un asombroso acuerdo con la teoría.

La electrodinámica cuántica
¿Qué dice la ecuación de Dirac?

La ecuación de Dirac establece cómo evoluciona un electrón de manera cuántica.

En la mecánica cuántica, los electrones son descritos por ondas de una determinada frecuencia y velocidad. Estas ondas se superponen y forman pulsos que tienen una cierta extensión espacial y se desplazan en el espacio (ver la figura).

Un pulso siempre tendrá una mínima extensión espacial y, además, habrá una imprecisión en su velocidad lo que así hará a una partícula cuántica diferente de una bolita que rueda por el suelo, a la cual podemos ubicar y hasta seguir con la vista con facilidad.

Más aún, como cualquier onda, los electrones experimentarán fenómenos de interferencia como le ocurre a la luz o el sonido.

El resultado es una cierta probabilidad de tener al electrón en uno u otro lugar, y que será dada por la manera cómo se extiende en el espacio el pulso que lo describe.
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Electrones: ondas relativistas con spin

El carácter relativista determina que su energía está dada por E = mc2, la expresión relativista de la energía de una partícula con masa en reposo m0.

Además, los electrones tienen spin, una propiedad que le confiere dos estados posibles, que físicamente emparenta a cada electrón con un pequeño mán que puede orientarse de dos únicas maneras cuando se le observa. Así, la ecuación de Dirac es una ecuación de ondas de electrones con energías relativistas y spin.

La predicción de las antipartículas

Antes del éxito, sin embargo, la teoría de Dirac provocó gran resistencia. La predicción de las antipartículas del electrón fue inicialmente una forma de resolver algunas inconsistencias que presentaba la teoría. El modelo no era consistente si no se postulaba, junto a los electrones, objetos con carga positiva. Es decir, una teoría cuántico-relativista para el electrón sólo podía darse en la compañía de estos otros objetos.

Dirac pensó en un principio que podía ser el protón, pero semejante situación dentro de un mismo átomo, formado justamente por electrones y protones, implicaría su aniquilación en una fracción de segundo. Efectivamente, una partícula y su antipartícula sufren una rápida aniquilación produciendo energía electromagnética. Además, la simetría de las ecuaciones implicaba que la masa de la supuesta partícula fuera igual a la del electrón, que no es el caso del protón.

Fue un mal momento para Dirac. Entre otros, Heisenberg encontró que esa formulación había causado más confusión que orden y la calificó como "el capítulo más triste en la física moderna". Convencido de su teoría, Dirac contraatacó, postulando derechamente en 1931, la existencia de electrones positivos como la única interpretación posible a su teoría y que habría que buscarlos.

Las antipartículas hacen su aparición en un experimento

Un año más tarde que la predicción de Dirac, en 1932, Carl Anderson, un físico de 27 años, nacido en EE. UU. de padres suizos, descubría el positrón o el electrón positivo predicho por Dirac. Este fue el comienzo de una zoología de partículas y antipartículas elementales que ha poblado la física desde entonces.
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Cómo surgen las antipartículas en la teoría


Las antipartículas surgen porque en la teoría cuántico-relativista no es posible dejar fuera valores de signo negativo para la energía. Esto tiene su origen matemático en la ecuación E2= (m0 c2)2 + p2c2 que da la energía de una partícula relativista en función de su masa en reposo m0 y su momentum p .

Un electrón es la superposición de ondas de diferente energía-momentum, una superposición que permite describir un electrón en movimiento como un pulso en el espacio, con la carga eléctrica y el spin del electrón. Hay que imaginar al electrón como el sonido de una cuerda de guitarra; no es una nota musical pura sino que está compuesto de muchos armónicos que le dan el timbre característico.

La operación de superposición realizada para formar este “pulso” que es el electrón implica sumar -o superponer- “armónicos" de energías de la forma E=+√( (m0 c2)2 + p2c2 ) y E=-√( (m0 c2)2 + p2c2 ), esto es, las raíces de la ecuación relativista para la energía.

Se puede pensar en resolver el problema imponiendo manu militari la prohibición de las energías negativas. Pero, entonces tendremos que admitir la posibilidad de velocidades mayores que la velocidad de la luz. Eso, a su vez, implica que para algunos observadores las partículas irán hacia atrás en el tiempo.

El problema se cuela por uno u otro lado. A estas incon-sistencias de la teoría de Dirac se suman otras. La verdad es que es necesario ir más allá de la ecuación de Dirac y con ella como base construir una teoría de campos cuántica.

Lo interesante de esta historia es que Dirac optó por aceptar las antipartículas, rescatando lo que a su juicio no era un artefacto teórico.
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